APLIKASI DISTRIBUSI FERMI-DIRACT UNTUK MENGHITUNG EMISI THERMAL PADA METAL

APLIKASI DISTRIBUSI FERMI-DIRACT UNTUK MENGHITUNG EMISI THERMAL PADA METAL

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Berbeda dengan jenis material yang lain, metal memiliki konduktivitas listrik dan konduktivitas thermal yang tinggi. Ada beberapa teori yang menjelaskan tentang metal. Diantaranya adalah teori Drude dan teori Lorentz. Drude dan Lorentz mengembangkan teori yang secara quantitatif menerangkan tentang konduktivitas metal.

Teori Drudze-Lorentz ini adalah teori klasik. Pada teori ini elektron dalam metal dianggap sebagai partikel elektron yang dapat bergerak bebas dalam potensial internal kristal yang konstan. Dinding potensial hanya terdapat pada batas permukaan metal, yang mencegah elektron untuk meninggalkan metal. Hal ini berarti energi elektron dalam metal haruslah lebih rendah dari dinding potensial di permukaan metal. Elektron-bebas (elektron valensi) dalam metal dianggap berada pada tingkat-tingkat energi yang berubah secara kontinyu (tidak diskrit). Teori Drudze-Lorentz belum memuaskan dalam memberikan estimasi jumlah elektron-bebas.

Selain teori Drudze-Lorentz ada juga teori Sommerfeld. Dalam teori Sommerfeld, tingkat-tingkat energi dalam metal adalah diskrit. Perhitungan dilakukan dengan melihat kembali tingkat energi yang diberikan dalam solusi persamaan Schrodinger untuk sumur potensial tiga dimensi Lx × Ly × Lz. Kelemahan teori Drudze-Lorentz dapat diatasi oleh teori Sommerfeld yang menerapkan statistik kuantum untuk elektron dalam metal.

B. Permasalahan

1. Bagaimana teori tentang teori metal?

2. Bagaimana pengisian status energi pada dan energi ferminya?

3. Bagaimana pengisian elektron pada temperatur > ?

4. Bagaimana aplikasi distribusi fermi-dirac untuk menghitung emisi thermal pada metal?

C. Tujuan Penulisan

1. Untuk mengetahui teori tentang teori metal.

2. Untuk mengetahui pengisian status energi pada dan energi ferminya.

3. Untuk mengetahui pengisian elektron pada temperatur > .

4. Untuk mengetahui aplikasi distribusi fermi-dirac untuk menghitung emisi thermal pada metal.

BAB II

PEMBAHASAN

A. Teori tentang Metal

1. Teori Drude-Lorentz Tentang Metal

Teori Drudze-Lorentz ini adalah teori klasik. Pada teori ini elektron dalam metal dianggap sebagai partikel elektron yang dapat bergerak bebas dalam potensial internal kristal yang konstan. Dinding potensial hanya terdapat pada batas permukaan metal, yang mencegah elektron untuk meninggalkan metal. Hal ini berarti energi elektron dalam metal haruslah lebih rendah dari dinding potensial di permukaan metal. Perbedaan energi ini merupakan fungsi-kerja.

Elektron-bebas (elektron valensi) dalam metal dianggap berada pada tingkat-tingkat energi yang berubah secara kontinyu (tidak diskrit). Gerakan elektron hanya terhambat oleh benturan dengan ion metal sementara interaksi antar elektron tidak dipersoalkan. Elektron-bebas seperti ini berperilaku seperti gas ideal yang mengikuti prinsip ekuipartisi Maxwell-Boltzmann.

Elektron dianggap seperti gas ideal yang memiliki tiga derajat kebebasan. Energi kinetik rata-rata per derajat kebebasan adalah sehingga energy rata-rata per electron adalah .

Aplikasi medan listrik pada metal menyebabkan seluruh elektron-bebas bergerak dalam metal, sejajar dan berlawanan arah dengan arah medan listrik. Gerakan elektron sejajar medan listrik ini merupakan tambahan pada gerak thermal yang acak, yang telah dimiliki elektron sebelum ada medan listrik. Gerak thermal yang acak tersebut memiliki nilai rata-rata nol sehingga tidak menimbulkan arus listrik. Jika terdapat medan listrik sebesar maka medan ini akan memberikan percepatan pada elektron sebesar

(1)

Keterangan:

: muatan electron

: massa electron

F : gaya yang bekerja pada electron

Percepatan pada elektron memberikan kecepatan pada elektron sebesar v yang kita sebut kecepatan hanyut (drift velocity). Dalam perjalanannya yang sejajar arah medan, elektron ini membentur ion, dan elektron dianggap kehilangan seluruh energy kinetiknya sesaat setelah benturan sehingga ia mulai lagi dengan kecepatan nol sebelum mendapat percepatan lagi. Dengan demikian kecepatan hanyut elektron berubah dari nol (sesaat setelah benturan) sampai maksimum sesaat sebelum benturan.

Jika jarak rata-rata antara satu benturan dengan benturan berikutnya adalah L, yang disebut jalan bebas rata-rata, dan kecepatan hanyut rata-rata adalah , sedangkan kecepatan thermal rata-rata adalah μ, maka waktu rata-rata antara dua benturan adalah

(2)

Kecepatan hanyut rata-rata ini jauh lebih kecil dari kecepatan thermal. Oleh karena itu

(3)

Kecepatan hanyut berubah dari nol (sesaat setelah benturan) sampai maksimum sesaat sebelum benturan. Kecepatan hanyut rata-rata adalah

(4)

Jika kerapatan elektron per satuan volume adalah n, maka kerapatan arus listrik yang terjadi adalah

(5)

Menurut hokum Ohm, kerapatan arus adalah

(6)

Keterangan:

: resistivitas material

: konduktivitas listrik ()

Dari kedua persamaan kerapatan arus tersebut diperoleh persamaan:

dan (7)

Persamaan (7) merupakan formulasi untuk resistivitas dan konduktivitas listrik metal. Dalam praktek diketahui bahwa resistivitas tergantung temperatur. Pengaruh temperatur pada formula (7) terjadi pada kecepatan thermal μ. Relasi antara μ dengan temperatur, diambil dari relasi energi untuk gas ideal adalah

(8)

adalah konstanta boltzman.

Dari persamaan (8) diperoleh

(9)

Dari persamaan (9), maka persamaan (7) menjadi

(10)

Persamaan (10) yang menunjukkan resistivitas metal merupakan fungsi dari temperatur. Dari relasi (10) kita mengharapkan bahwa resistivitas merupakan fungsi dari. Hal ini berbeda dengan kenyataan, yang memperlihatkan bahwa resistivitas metal, mulai dari temperatur tertentu, berbanding lurus dengan kenaikan temperatur. Walaupun formulasi ini tidak sesuai dengan kenyataan namun pada temperatur kamar perhitungan dengan menggunakan (10) tidak jauh berbeda dengan hasil eksperimen.

2. Teori Sommerfeld Tentang Metal

Dalam teori Sommerfeld, tingkat-tingkat energi dalam metal adalah diskrit. Perhitungan dilakukan dengan melihat kembali tingkat energi yang diberikan dalam solusi persamaan Schrodinger untuk sumur potensial tiga dimensi Lx × Ly × Lz , yaitu

(11)

Jika energi dinyatakan dalam momentum, maka akan didapatkan persamaan:

(12)

Dari persamaan (11) dan (12) diperoleh:

(13)

(14)

dengan i = x, y, z . Tanda ± pada persamaan (14) secara fisik terkait dengan arah momentum yang bisa positif maupun negatif. Dalam persamaan ini pi adalah komponenkomponen momentum sedangkan Li adalah sisi sumur potensial tiga dimensi. Jika sumur potensial berbentuk kubus dengan rusuk L maka

(15)

Dengan yang bisa dijadikan momentum satuan. Persamaan (15) memperlihatkan kuantisasi momentum dalam ruang momentum dengan satuan ruang momentum .

Gambar 1. Ruang momentum untuk positif

Kita tinjau seperdelapan ruang kulit bola dimana pi bernilai positif ( bernilai positif) seperti pada Gb.1. Setiap posisi titik [] menunjukkan satu vektor momentum p; titik ini menempati ruang sebesar . Jika kerapatan status momentum adalah maka dalam volume seperdelapan ruang kulit bola berjari-jari p dan tebal dp (yang ditunjukkan secara dua dimensi oleh Gb.2) terdapat jumlah status momentum sebesar volume ini dibagi dengan volume satuan ruang momentum. Jadi

(16)

Dengan adalah volume satu sumur potensial kubus.

Momentum dapat dikonversikan menjadi energi dengan persamaan:

(17)

Dari persamaan (17) maka persamaan (16) menjadi:

(18)

Keterangan:

: kerapatan arus energi

: jumlah status dalam volume kulit bola dengan ketebalan

: massa electron yaitu masaa efektif ()

Dari persamaan (18) didapatkan kerapatan arus energy:

(19)

Kerapatan status energi berbanding lurus dengan akar E. Kurva sebagai fungsi E terlihat pada gambar 2 sebagai berikut.

Gambar 2. Kerapatan status energi

Makin besar E kerapatan status energi makin besar. Namun tidak semua status akan terisi. Karena cara pengisian status mengikuti urutan sederhana yaitu mulai dari tingkat terendah, maka jumlah status yang terisi tergantung dari energi tertinggi yang dimiliki elektron. Oleh karena itu timbul pertanyaan tentang bagaimana elektron terdistribusi dalam status energi yang kerapatan statusnya dinyatakan oleh persamaan (19).

B. Pengisian Status Energi Pada dan Energi Fermi

Ikatan antar atom terjadi karena peran elektron valensi. Tingkat-tingkat energi yang tersedia dalam padatan, dengan kerapatan akan terisi oleh elektron-elektron valensi tersebut. Pengisian elektron pada tingkat-tingkat energi yang tersedia tetap mengikuti urutan sederhana yaitu bahwa tingkat energi paling rendah akan terisi terlebih dulu dan kemudian disusul dengan tingkat terendah berikutnya dan demikian seterusnya. Jika kita meninjau keadaan pada , maka setiap tingkat energi akan terisi penuh sampai suatu tingkat energi tertinggi dan tingkat energi di atas tingkat tertinggi ini akan kosong (tidak terisi).

Tingkat energi tertinggi yang terisi pada temperatur K ini disebut tingkat Fermi atau energi Fermi. Jadi pada temperature K, tingkat-tingkat energy yang tersedia terisi penuh sampai ke tingkat energi Fermi dan tingkat-tingkat energy di atas energi Fermi tidak terisi (kosong). Keadaan ini digambarkan pada Gambar 2.b. Untuk menghitung jumlah tingkat energi yang tersisi (pada K) dapat digunakan model bola seperti yang digunakan pada penghitungan kerapatan tingkat energi untuk memperoleh persamaan 17, sebagaimana digambarkan pada Gambar 1.

Perbedaannya adalah bahwa vektor momentum untuk perhitungan ini berawal dari titik asal dan berujung pada tingkat energi paling luar yang ditempati elektron. Satuan momentum diperoleh dari persamaan de Broglie, yaitu:

; adalah panjang gelombang.

Dalam pembahasan aplikasi persamaan Schrodinger bahwa energi berbanding terbalik dengan kuadrat lebar sumur potensial, L. Karena energi berbanding lurus dengan kuadrat momentum, maka momentum berbanding terbalik dengan L. Dengan demikian satuan ruang momentum dapat dinyatakan sebagai δ = h / λ . Dengan menggunakan model bola, dapat dihitung jumlah status yang terisi N yaitu volume bola berjari-jari p dibagi dengan kemudian dikalikan dengan dua. Ditulis dalam persamaan sebagai berikut:

(20)

Faktor 2 pada persamaan (20) diperlukan untuk memperhitungkan adanya dua elektron dengan spin berlawanan dalam setiap status energi. Jika momentum pada persamaan (20) dikonversi menjadi energi dengan menggunakan persamaan (17) akan diperoleh:

(21)

Jika E pada persamaan (21) diganti dengan tingkat energi tertinggi yang terisi yaitu energy Fermi, maka akan diperoleh:

Dari sini diperoleh

(22)

Keterangan:

N : jumlah status yang terisi

V : Volume sumur potensial

N/V : jumlah status yang terisi per sumur potensial

Persamaan (22) merupakan persamaan untuk menghitung energi Fermi. Estimasi terhadap bisa dilakukan bila kita ingat bahwa dalam ikatan metal atomatom metal tersusun secara rapat. Bila diameter atom metal sekitar 3Å, dan volume atom metal diambil pula sebagai volume sumur potensial yaitu sekitar , maka untuk ion metal monovalen akan diperoleh nilai energi Fermi sebagai berikut:

Hasil perhitungan untuk beberapa unsur metal diberikan dalam Tabel.1

Pengertian temperatur Fermi terkait dengan pengertian klasik tentang elektron dimana energi elektron dinyatakan dengan dengan adalah konstanta Boltzmann dan temperatur elektron dalam derajat K. Jika elektron memiliki energi sebesar maka kita dapat menghitung temperatur Fermi

Jadi elektron dalam padatan yang berada pada tingkat energi Fermi, memiliki temperatur sangat tinggi, yaitu sekitar 50000. Penambahan energi thermal pada suhu kamar sekitar 300 hampir tidak ada artinya dibandingkan dengan energy thermal elektron yang berada di sekitar tingkat energi Fermi. Hasil perhitungan temperatur Fermi untuk beberapa unsur metal diberikan pada Tabel 1.

Tabel 1. Energi Femi dan Temperatur Fermi

Unsur	[eV]
Cu	7,0	82000
Ag	5,5	64000
Au	5,5	64000
Li	4,7	55000
Na	3,1	37000
K	2,1	24000
Rb	1,8	21000
Cs	1,5	18000

C. Pengisian Elektron Pada Temperatur >

Pada temperatur yang lebih tinggi dari , elektron-elektron mendapat tambahan energi sehingga sejumlah elektron yang semula berada di bawah namun dekat dengan energi Fermi naik ke atas dan meninggalkan beberapa tingkat energi di bawah energi Fermi yang semula ditempati. Perhitungan distribusi elektron dalam tingkat energi ini dilakukan dengan pendekatan statistik.

Pendekatan Statistik. Pada , semua tingkat energi sampai dengan tingkat energi Fermi terisi penuh sedangkan tingkat energi di atas energi Fermi kosong. Suatu fungsi f(E,T), yang berlaku untuk seluruh nilai energi dan temperatur baik di bawah maupun di atas, dapat didefinisikan sedemikian rupa sehingga untuk T = memberikan nilai 1 dan untuk E < memberikan nilai 0 untuk E >. Artinya pada T = tingkat energi di bawah pasti terisi sedangkan tingkat energi di atas pasti kosong. Energi E dalam fungsi tersebut terkait dengan energi elektron dalam sumur potensial dan oleh karena itu prinsip ketidak-pastian Heisenberg serta prinsip eksklusi Pauli harus diperhitungkan dalam menentukan f(E,T).

Pembatasan-pembatasan pada sifat elektron seperti ini tidak terdapat pada pendekatan klasik, yang memandang partikel-partikel dapat diidentifikasi, posisi dan energi partikel dapat ditentukan dengan pasti, dan tidak ada pembatasan mengenai jumlah partikel yang boleh berada pada tingkat energi tertentu. Dalam pembahasan metal digunakan statistik Fermi-Dirac.

Distribusi Fermi-Dirac. Dalam tinjauan ini partikel dianggap identik dan tak dapat dibedakan satu terhadap lainnya. Partikel-partikel ini juga mengikuti prinsip eksklusi Pauli sehingga tidak lebih dari dua partikel berada pada status yang sama. Partikel dengan sifat demikian ini biasa disebut fermion.

Untuk gerak partikel dibawah pengaruh gaya sentral (tinjauan pada aplikasi persamaan Scgrodinger), energi tidak tergantung dari orientasi momentum sudut di orbital sehingga terjadi degenerasi sebesar 2l + 1 dan ini merupakan probabilitas intrinsik dari tingkat energi yang bersangkutan. Jika partikel memiliki spin maka total degenerasi adalah 2(2l + 1). Prinsip eksklusi tidak memperkenankan lebih dari dua partikel berada pada satu status energi dengan bilangan kuantum yang sama, maka jumlah probabilitas intrinksik merupakan jumlah maksimum partikel (fermion) yang boleh berada pada tingkat energy tersebut. Pengertian mengenai probabilitas intrinsik yang kita kenal dalam pembahasan statisik klasik Maxwell-Boltzmann berubah menjadi status kuantum dalam pembahasan statistik kuantum ini. Jika gi adalah jumlah status dalam suatu tingkat energy , dan adalah jumlah partikel pada tingkat energi tersebut, maka haruslah .

Cara penempatan partikel pada distribusi Fermi dirac adalah sebagai berikut. Partikel pertama dapat menempati salah satu diantara . Partikel kedua dapat menempati salah satu dari (-1). Partikel ketiga dapat menempati salah satu dari dan seterusnya. Jumlah cara untuk menempatkan partikel di tingkat adalah

Karena partikel tidak dapat dibedakan satu sama lain, maka jumlah cara untuk menempatkan partikel di tingkat menjadi:

Dan
; dst hingga

Jumlah keseluruhan cara untuk menempatkan partikel adalah

Seperti halnya pada distribusi Maxwell-Boltzmann, harga maksimum P dicari melalui lnP. Dengan menggunakan pendekatan Stirling sehingga diperoleh

Dengan mengintroduksi parameter diperoleh:

Dari sini diperoleh distribusi Fermi dirac

Parameter α berkaitan dengan melalui hubungan sehingga persamaanya menjadi:

Dari persamaan di atas kita lihat:

Oleh karena itu persamaan ini menunjukkan bahwa jika T = 0 maka = yang berarti semua tingkat energi sampai terisi penuh dan di atas tidak terisi (= 0). inilah temperatur Fermi.

Jika kita gambarkan kurva / terhadap E kita peroleh bentuk kurva seperti pada Gambar 3a sedangkan Gambar 3b memperlihatkan pengisian tingkat energi pada temperatur diatas 0. Bila dibandingkan dengan pengisian pada 0 pada Gambar 2b, terlihat bahwa pada temperatur perubahan pengisian hanya terjadi di sekitar tingkat Fermi.

Gambar 3

/ pada tiga temperatur berbeda menurut statistik Fermi-Dirac dan pengisian tingkat-tingkat energi pada T > 0K.

D. Aplikasi Distribusi Fermi-Dirac Untuk Menghitung Emisi Thermal Pada Metal

Pada temperature kamar, elektron dalam metal tidak meninggalkan metal. Pada energi potensial elektron didalam dan di luar metal, sumur-sumur potensial terbentuk di sekitar inti atom. Di permukaan metal dinding sumur potensial jauh lebih tinggi dari dinding potensial di sekitar ion dalam metal. Oleh karena itu elektron yang bebas dalam metal tidak meninggalkan metal. Pada temperatur kamar elektron menempati tingkat energi di pita konduksi sampai di sekitar tingkat Fermi, seperti diperlihatkan pada Gambar 3b untuk mengeluarkan elektron dari dalam metal diperlukan tambahan energy (pada gambar 4) tambahan energi ini adalah sebesar eφ dan φ disebut work function dari metal.

Gambar 4. Pengisian pita konduksi pada metal.

Pada temperatur yang tinggi, tambahan energi yang diterima elektron di sekitar energi Fermi cukup besar sehingga ia mampu melewati dinding potensial di permukaan metal. Peristiwa keluarnya elektron dari metal karena pengaruh thermal ini disebut emisi thermal. Menggunakan distribusi Fermi-Dirac untuk menghitung jumlah elektron yang mampu mencapai permukaan metal untuk kemudian meninggalkan metal, diperoleh persamaan sebagai berikut:

Dengan j adalah kerapatan arus. Persamaan diatas dikenal dengan persamaan Richardson-Dushman. Perlu kita ingat bahwa persamaan tersebut tidak sepenuhnya terpenuhi karena beberapa hal:

a. emisi elektron di permukaan sangat sensitif terhadap kondisi permukaan

b. emisi elektron juga sensitif terhadap arah normal permukaan terhadap kisi kristal dalam metal

c. work function berubah terhadap temperatur; makin tinggi temperature banyak elektron yang makin jauh dari tingkat Fermi.

adalah work function pada ; adalah koefisian temperature;

Beberapa macam metal yang biasa digunakan sebagai katoda (yang dipanaskan) untuk memperoleh sumber elektron diberikan pada Tabel 2.

Tabel 2. Beberapa metal sebagai katoda sumber electron

Material Katoda	Titik Leleh []	Temperatur Kerja []	Work Function [eV]	Konstanta A [amp/m2]
W	3683	2500	4,5	0,060
Ta	3271	2300	4,1	0,4-0,6
Mo	2873	2100	4,2	0,55
Th	2123	1500	3,4	0,60
Ba	983	800	2,5	0,60
Cs	303	293	1,9	1,62

BAB III

PENUTUP

Ada beberapa teori yang menjelaskan tentang metal. Diantaranya adalah teori Drude-Lorentz dan teori Sommerfeld. Drude dan Lorentz mengembangkan teori yang secara quantitatif menerangkan tentang konduktivitas metal. Teori Drudze-Lorentz ini adalah teori klasik. Drude dan Lorentz mengembangkan teori yang secara quantitatif menerangkan tentang konduktivitas metal. Teori Drudze-Lorentz belum memuaskan dalam memberikan estimasi jumlah elektron-bebas. Kelemahan teori Drudze-Lorentz dapat diatasi oleh teori Sommerfeld yang menerapkan statistik kuantum untuk elektron dalam metal.

DAFTAR PUSTAKA

http://wapedia.mobi/id/Teori_material_metal

http://biomed.ee.itb.ac.id/courses/Material%20biomedika/BAB%209%20b5%20Sifat%20Listrik%20Metal.pdf